نسبت اور تناسب (Ratio and Proportion)
1. نسبت (Ratio)
کسی دو ہم جنس مقداروں کا تقابل، جو نسبت (Ratio) کہلاتا ہے۔ نسبت کی علامت `:` ہے۔ اگر دو مقداریں `a` اور `b` ہوں تو `a:b` میں `a` مقدم (antecedent) اور `b` ثانی (consequent) کہلاتا ہے۔
نسبت کو کسر کی صورت میں بھی لکھا جا سکتا ہے: `a:b = a/b`
اگر `a:b` ہو تب `b:a` اس کی معکوس نسبت (Inverse Ratio) ہوگی۔
2. تناسب (Proportion)
دو نسبتیں برابر ہوں تو انہیں تناسب (Proportion) کہا جاتا ہے۔ نشانِ تناسب `::` یا مساوات `=` بھی استعمال ہوتی ہے۔ مثلاً `a:b :: c:d` یا `a:b = c:d`۔
تناسب کی خاصیت: طرفین کا حاصلِ ضرب برابر ہوتا وسطین کے حاصل ضرب کے ہے
`a × d = b × c` (i.e., `ad = bc`)
3. درمیانہ تناسب (Mean Proportion)
اگر `a:b::b:c` ہو تو `b` کو درمیانہ تناسب کہتے ہیں اور `b^2 = a × c`
`b = sqrt(a × c)`
4. تیسرا اور چوتھا تناسب (Third & Fourth Proportion)
تیسرا تناسب: `a:b :: b:x` → `x = b^2 / a`
چوتھا تناسب: `a:b :: c:x` → `x = (b × c) / a`
5. اقسام (Types of Proportion)
راست تناسب (Direct Proportion): جب ایک مقدار بڑھے اور دوسری بھی اسی تناسب سے بڑھے۔ مثال: `x = k y` (k مستقل)۔
معکوس تناسب (Inverse Proportion): جب ایک مقدار بڑھے تو دوسری گھٹے۔ مثال: `x = k / y` (k مستقل)۔
مرکب تناسب (Compound Proportion): جب ایک مقدار کی تبدیلی کا اثر دو یا زیادہ مقداروں پر پڑتا ہو (مثلًا مزدور، وقت، مقدار)۔
6. اہم قواعد (Key Rules)
• راست تناسب میں کراس ضرب دیں اور درمیان میں مساوی لکھیں۔ مثال: `2 item : 10 Rs = 4 item : x Rs` → `2 × x = 4 × 10` → `x = 20 Rs`.
• معکوس تناسب میں سیدھی ضرب دیں۔ مثال: `2 man : 10 days = 4 man : x days` → `2 × 10 = 4 × x` → `x = 5 days`.
7. مثالیں (Solved Examples)
Example 1:
`35 cm : 1 m`
`(1 m = 100 cm)`
`35 : 100`
کم سے کم شکل
`7 : 20`.
Example 2: `1 Rs : 20 paise` → `1 Rs = 100 paise` → `100 : 20 = 5 : 1`.
Example 3: `1 hr : 15 min` → `1 hr = 60 min` → `60 : 15 = 4 : 1`.
Example 4: `350 gm : 1 kg` → `1 kg = 1000 gm` → `350 : 1000 = 7 : 20`.
Example 5: `4 dozen : 1 gross` → `1 gross = 12 dozen` → `4 : 12 = 1 : 3`.
Example 6: `1250 gm : 750 gm` → `1250 : 750 = 5 : 3`.
8. مزید حل شدہ مثالیں (More Solved Examples)
Example: اگر `a:b = 2:3` اور `c:d = 4:9` تو مرکب نسبت `a:b:c:d` کیسے بنائیں — عام طریقہ scale کرکے یکساں وسط حاصل کریں۔ (دستی طریقوں کے مطابق حل کریں)
Example: درمیانہ تناسب: `5` اور `125` کا درمیانہ تناسب `b = sqrt(5 × 125) = sqrt(625) = 25`.
9. راست اور معکوس تناسب کے عملی سوالات (Practical Questions)
1) اگر دو اعداد کا مجموعہ `132` ہو اور ان کی نسبت `5:6` ہو تو اعداد معلوم کریں: مجموعہ تناسب = `5 + 6 = 11` → ایک حصہ = `132 / 11 = 12` → اعداد = `5×12 = 60` اور `6×12 = 72`.
2) `160 Rs` کو `5:3` کی نسبت میں تقسیم کریں: مجموعہ = `8` → ایک حصہ = `160/8 = 20` → `5` حصے = `100 Rs` (Shakir), `3` حصے = `60 Rs` (Mushtaq).
3) زیور وزن `45 g` میں سونا اور تانبہ نسبت `7:2` → سونا = `(7/9) × 45 = 35 g`.
4) اگر `36` آدمی ایک دیوار `12` دن میں کھودیں تو `16` آدمی اسے کتنے دن میں کھودیں گے? (معکوس تناسب): `36 × 12 = 16 × x` → `x = (36×12)/16 = 27 days`.
10. نقشہ اور پیمانہ (Map Scale Examples)
Example: پیمانہ `1 cm = 15 km`۔ اگر حقیقت میں فاصلہ `105 km` ہو تو نقشہ میں فاصلہ: `x = 105 / 15 = 7 cm`.
Example: اگر پیمانہ `1 : 30000` اور نقشہ پر فاصلہ `4 cm` ہو تو حقیقی فاصلہ = `4 × 30000 = 120000 cm = 1.2 km` (تبدیل کریں جیسا مطلوب)۔
11. مرکب تناسب (Compound Proportion) مثالیں
Examples of compound proportion include: مزدوروں کی تعداد × وقت = کام (Inverse/Direct mix), طالب علموں کی تعداد اور غذا کا دن (inverse), گاڑی کی رفتار اور وقت (inverse), فاصلہ اور پترو ل (direct).
12. مشقی سوالات (Practice Questions)
Note: All problems from your document are included below — unsolved so students can practice.
1) `35 cm : 1 m` کا نسبت لکھیں۔
2) `1 Rs : 20 paise` کا نسبت لکھیں۔
3) `1 hr : 15 min` کا نسبت لکھیں۔
4) `350 gm : 1 kg` کا نسبت لکھیں۔
5) `4 days : 1 week` کا نسبت لکھیں۔
6) `8 metric ton : 550 kg` کا نسبت لکھیں۔
7) `4 dozen : 1 gross` کا نسبت لکھیں۔
8) `1250 gm : 750 gm` کا کم سے کم نسبت لکھیں۔
9) درمیانہ تناسب نکالیں: `5` اور `125`۔
10) درمیانہ تناسب نکالیں: `27` اور `3`۔
11) احمد کے والد نے `18` پھول خریدے، لال اور پیلے پھول نسبت `1:2` میں ہیں۔ ہر قسم کتنے ہوں گے؟
12) ایک جماعت میں `32` طلبا ہیں، `12` لڑکے ہیں۔ لڑکوں اور لڑکیوں کا نسبت کیا ہوگا؟
13) راشد کے پاس `16` لال اور `4` نیلی گولیاں ہیں۔ نسبت کیا ہوگا؟
14) اگر دو اعداد کا مجموعہ `132` ہو اور نسبت `5:6` ہو تو اعداد معلوم کریں۔
15) اگر `160 Rs` کو `5:3` میں تقسیم کیا جائے تو Shakir کو کتنے ملیں گے؟
16) زیور `45 g` میں سونا اور تانبہ `7:2`۔ سونا کتنا گرام ہوگا؟
17) `3 kg` اور `1.25 kg` جیسی مثالوں کے نسبت نکالیں (Document میں درج مختلف وزن کے مسائل)۔
18) ریلوے سوال: ایک ریل گاڑی `90 km` کو `2` hours میں طے کرتی ہے۔ `540 km` کتنے hours میں طے کرے گی؟ (Direct proportion)
19) نقشہ پیمانہ: `1 cm = 15 km`. `105 km` نقشہ میں کتنے cm ہوگا؟
20) اگر دو زاویوں کا نسبت `3:1` ہو اور بڑا زاویہ `63` ہو تو چھوٹا زاویہ کیا ہوگا؟
21) اگر `36` آدمی `12` دن میں کام مکمل کرتے ہیں تو `16` آدمی کتنے دن لیں گے؟ (Inverse proportion)
22) ایک ہاسٹل میں `100` طلبا کے لئے `40` days کا راشن ہے۔ `4` دن بعد `12` طلبا شامل ہونے پر یہ راشن کتنے دن چلے گا؟
23) اگر `8 Rs/kg` کے حساب سے `5 kg` خریدے جا سکتے ہیں تو `10 Rs/kg` پر کتنے kg خریدے جا سکتے ہیں؟
24) مزید مشقیں اور پیچیدہ مرکب تناسب سوالات (Document میں مزید سوالات کو اسی طرح شامل کیا گیا ہے) — آپ چاہیں تو میں ان کے حل علیحدہ پوسٹ میں بنا دوں گا۔
13. خلاصہ (Summary)
• نسبت (Ratio) اور تناسب (Proportion) روزمرہ زندگی میں اکثر دیکھنے کو ملتے ہیں — پیمائش، تقسیم، نقشہ سازی، کام اور مزدور و وقت کے مسائل وغیرہ۔ • راست تناسب میں کراس ضرب، معکوس تناسب میں سیدھی ضرب کے قواعد یاد رکھیں۔ • درمیانہ تناسب، تیسرا/چوتھا تناسب اور مرکب تناسب کے فارمولے عملی مسائل میں مدد دیتے ہیں۔
نوٹ (Note):
یہ HTML بلاگر-محفوظ (Blogger-safe) ہے — MathJax استعمال کرنے کے لیے `MathJax` اسکرپٹ کو صرف ایک بار اپنے Theme میں شامل کریں (Theme → Edit HTML → قبل از ``):