وقت اور کام | Time and Work
٭ وقت اور کام پر سوالات آجکل تمام مسابقتی امتحان کا حصہ بن چکے ہیں۔ وقت، رفتار اور فاصلہ کے درمیان ایک منطق چھپی ہوتی ہے۔ اس طرح کے سوالات کو جلدی حل کرنے کے لیے ان کے تصور اور مختصر طریقے سیکھنا ضروری ہے۔
بنیادی تصور (Basic Concept)
اگر کوئی آدمی ایک کام کو `5` دنوں میں کرتا ہے تو اس کا ایک دن کا حصہ `\frac{1}{5}` ہوگا۔
اگر کوئی آدمی ایک دن میں `H` گھنٹے کام کرتا ہے اور مکمل کام `D` دن میں ہوتا ہے تو اُس کا ایک گھنٹے کا حصہ `\frac{1}{D\times H}` ہوگا۔
قواعد اور فارمولا (Rules & Formula)
عام فارمولا جب صرف آدمیوں کے ذریعے کام کیا جاتا ہے (جب ہر آدمی کی صلاحیت برابر ہو):
`M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2`
جب آدمی × دن × گھنٹے کو برابر کرنا ہو تو:
`M_1 \times D_1 \times H_1 = M_2 \times D_2 \times H_2`
مثال 1 — ایک عام مسئلہ (Example 1)
Question: `15` آدمی ایک کام کو `50` دن میں کرتے ہیں۔ اگر `10` آدمی وہی کام کریں تو کتنے دن لگیں گے؟
Sol:
مرحلہ 1: لکھیں: `15 \times 50 = 10 \times D_2`
مرحلہ 2: لکھیں: ```\frac{15\times50}{10} = D_2```
مرحلہ 3: نتیجہ: `D_2 = 75`
مثال 2 — آدمی × دن × گھنٹے (Example 2)
Question: `24` آدمی روزانہ `8` گھنٹے کر کے `50` دن میں کام ختم کرتے ہیں۔ اگر `16` آدمی روزانہ `6` گھنٹے کریں تو کتنے دن لگیں گے؟
Sol:
مرحلہ 1: پورا کام یونٹس نکالیں: `24 \times 50 \times 8`
مرحلہ 2: لکھیں: ```\frac{24\times50\times8}{16\times6} = D_2```
مرحلہ 3: نتیجہ: `D_2 = 100`
A اور B مل کر کام (Working Together)
اگر A کام `x` دن میں کرتا ہے اور B کام `y` دن میں کرتا ہے تو دونوں مل کر ہر دن `\frac{1}{x}+\frac{1}{y}` حصہ کرتے ہیں۔
پورا کام دونوں مل کر کرنے والا دن: `\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}`
`=\frac{xy}{x+y}`
مثال 3 — مل کر (Example 3)
Question: اگر A ایک کام کو 75 دنوں میں کرتا ہے اور AاورB ملکر اسی کام کو 50 دنوں میں کرتے ہیں تب Bکو اس کام کو مکمل کرنے کیلیئے کتنے دن لگےگے۔
Sol:
مرحلہ 1: لکھیں: `\frac{1}{75} + \frac{1}{B} = \frac{1}{50}`
مرحلہ 2: منتقل کریں: `\frac{1}{B} = \frac{1}{50} - \frac{1}{75}`
مرحلہ 3: لکھیں: ```\frac{1}{50} = \frac{3}{150}, \quad \frac{1}{75}=\frac{2}{150}```
مرحلہ 4: لکھیں: `\frac{1}{B} = \frac{3}{150} - \frac{2}{150} = \frac{1}{150}`
مرحلہ 5: نتیجہ: `B = 150` دن
تین لوگ مل کر (Three workers)
اگر A، B اور C مل کر کام `D` دن میں کرتے ہیں تو
` \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{D}`
فارمولے برائے مرکب (Compound formulas)
1) اگر A,B مل کر ایک کام `x` دن میں اور A,C مل کر وہی کام `y` دن میں اور B,C مل کر `z` دن میں کرتے ہوں تو:
`A+B+C=\frac{2xyz}{xy+yz+zx}`
2) اگر A,B,C مل کر کام `D` دن میں کر رہے ہوں اور ان کی اکیلا کارکردگی x,y,z دن میں ہو تو:
`A+B+C=\frac{xyz}{xy+yz+zx}`
مثال 4 — مرکب مثال (Example 4)
Question: A اکیلا ایک کام `20` دن میں کرتا ہے، B اکیلا `15` دن میں، C اکیلا `10` دن میں۔ A+B+C مل کر کتنے دن میں کریں گے؟
Sol:
مرحلہ 1: لکھیں: ```\frac{20\times15\times10}{20\times15 + 15\times10 + 10\times20}```
مرحلہ 2: لکھیں: ```\frac{3000}{300 + 150 + 200}```
مرحلہ 3: لکھیں: ```\frac{3000}{650}```
مرحلہ 4: نتیجہ: ```\frac{60}{13}`` (days)
مزید مسائل (More problems & special cases)
• جب آدمی کم یا زیادہ کیے جائیں تو فارمولا استعمال کریں: اگر D دن میں کام ہوتا ہے اور d آدمی کم کر دیے جائیں تو اضافی دن x ہوں تو اصل آدمیوں کا فارمولا:
`M = \frac{x\times (D+d)}{d}`
مثال: اگر کام `10` دن میں ہوتا ہے اور `5` آدمی کم کرنے سے `5` دن زیادہ لگتے ہیں تو:
Sol:
مرحلہ 1: لکھیں: ```\frac{5\times(10+5)}{5}```
مرحلہ 2: نتیجہ: `[15]` MEN
حصہ وار کام (Work done in parts)
اگر A کچھ دن کام کرے، پھر B کام جاری رکھے، اور بعد میں A یا C کام ختم کریں تو ہر حصے کو یونٹس میں نکالیں اور جمع کریں۔
فارمولا جب A نے 'a' دن اور B نے 'b' دن کام کیا اور باقی کام A نے x دن میں مکمل کیا:
`A+B=\frac{b\times X}{b+X-a}`
مثال:
Question: A اور B مل کر `5` دن کام کرتے ہیں، پھر باقی کام `5` دن میں A اکیلا کرتا ہے، اور پورا کام `20` دن میں مکمل ہوا — A+B کل کتنے دن میں کرتے؟
Sol:
مرحلہ 1: لکھیں: ```\frac{5\times20}{5+20-5}```
مرحلہ 2: لکھیں: ```\frac{100}{20}```
مرحلہ 3: نتیجہ: `5` days
مزید مثالیں (More solved examples)
• مثال: `36` آدمی `12` دن میں کام کرتے ہیں تو `16` آدمی کتنے دن میں کریں گے؟
Sol:
مرحلہ 1: لکھیں: `36\times12 = 16\times x`
مرحلہ 2: لکھیں: ```\frac{36\times12}{16} = x```
مرحلہ 3: نتیجہ: `x = 27` دن
پریکٹس سوالات (Practice Questions)
1) `15` آدمی `50` دن میں کام کرتے ہیں۔ اگر `10` آدمی وہی کام کریں تو کتنے دن لگیں گے؟
2) `24` آدمی روزانہ `8` گھنٹے کر کے `50` دن میں کام ختم کرتے ہیں۔ اگر `16` آدمی روزانہ `6` گھنٹے کریں تو کتنے دن لگیں گے؟
3) `36` آدمی `12` دن میں کام کرتے ہیں۔ `16` آدمی کتنے دن میں کریں گے؟
4) `6` پمپ `80` منٹ میں ٹینک بھرتے ہیں۔ `5` پمپ کتنے منٹ میں بھریں گے؟
5) اگر `100` طلبا کیلئے `40` دن کا راشن ہے اور `12` طلبا شامل ہو جائیں تو باقی دن کتنے رہیں گے؟
6) `14` typists، روزانہ `6` گھنٹے، `12` دن میں۔ اگر `4` typists روزانہ `7` گھنٹے کریں تو کتنے دن لگیں گے؟
Comments
Post a Comment